liubopytnyi

Мой комментарий к записи «Математическое: разложение на "четную" и "нечетную" части в многомерном…

Как уже написали выше, вопрос скорее не в "как получить многомерное разложение", а в "какую функцию назвать чётной/нечётной в многомерном случае".

Попробую и я:

Пускай R_n - n-мерное евклидово пространство, а F_n - множество функций R_n -> R.

Выберем произвольное взаимно однозначное инволютивное преобразование g: R_n -> R_n и произвольную функцию f из F_n.
(инволютивное - это такое преобразование g, для которого g(g(x)) = x).

Функцию f относительно преобразование g будем называть:
- чётной, если f(x) = f(g(x));
- нечётной, если f(x) = -f(g(x));
- ни чётной, ни нечётной в оставшемся случае.

Теперь можно доказать, что любая функция f из F_n раскладывается на сумму чётной и нечётной функции по формуле:

f(x) = f_чётн (x) + f_нечётн (x), где:
f_чётн (x) = (f(x) + f(g(x))) / 2
f_нечётн (x) = (f(x) - f(g(x))) / 2

Традиционные определения чётной/нечётной функции являются частными случаями приведённого определения. Они получаются при n = 1 (т.е. рассматриваем R_n = R_1 и F_n = F_1) и g(x) = -x. Но математический аппарат не меняется при рассмотрении, например, при инверсии относительно n-мерной сферы (любой) или при симметрии относительно n-мерной плоскости (любой).

Посмотреть обсуждение, содержащее этот комментарий

Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic